Question

点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2

2

，若四面体ABCD体积的最大值为

4

3

，则该球的表面积为（　　）

• A、

  16π

  3

• B、8π
• C、9π
• D、12π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,球

分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答：解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为

1

3

×S_△ABC×DQ=

4

3

，
S_△ABC=

1

2

AC•BQ=

1

2

×2

2

×

2

即

1

3

×

1

2

×

2

×2

2

×DQ=

4

3

，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=（

2

）²+（2-R）²，∴R=

3

2

则这个球的表面积为：S=4π（

3

2

）²=9π；
故选：C．

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．