Question

5．国内某知名大学有男生14000人，女生10000人．该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]）
男生平均每天运动的时间分布情况：

平均每天运动的时间	[0，0.5）	[0.5，1）	[1，1.5）	[1.5，2）	[2，2.5）	[2.5，3]
人数	2	12	23	18	10	x

女生平均每天运动的时间分布情况：

平均每天运动的时间	[0，0.5）	[0.5，1）	[1，1.5）	[1.5，2）	[2，2.5）	[2.5，3]
人数	5	12	18	10	3	y

（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；
（Ⅱ）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．
①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；
②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”

	运动达人	非运动达人	总  计
男  生
女  生
总  计

参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由分层抽样求出男生抽取的人数，女生抽取人数，然后求解该校男生平均每天运动的时间．
（Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，故估计该校“运动达人”人数；②填写表格，求解K²的观测值，推出在犯错误的概率不超过0.05的前提下，‘运动达人’与性别有关”的结果．

解答 解：（Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为$120×\frac{14000}{14000+10000}=70$人，女生抽取人数为120-70=50人，故x=5，y=2，（2分）
则该校男生平均每天运动的时间为：$\frac{0.25×2+0.75×12+1.25×23+1.75×18+2.25×10+2.75×5}{70}≈1.5$，（5分）
故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；
（Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，故估计该校“运动达人”有$\frac{1}{6}×（{14000+10000}）=4000$人；                                （8分）
②由表格可知：

	运动达人	非运动达人	总  计
男  生	15	55	70
女  生	5	45	50
总  计	20	100	120

（9分）
故K²的观测值$k=\frac{{120{{（{15×45-5×55}）}^2}}}{20×100×50×70}=\frac{96}{35}≈2.743＜3.841$．（11分）
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”．
（12分）

点评 本题考查分层抽样，独立检验的思想方法，考查分析问题解决问题的能力．