Question

2．已知a∈R，函数$f（x）=\frac{2}{x}+alnx$．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，2）上递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）的最小值g（a）的最大值；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）+|（a-2）x|，x∈[1，+∞），求证：h（x）≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为恒有$a≤\frac{2}{x}$成立，求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到函数f（x）的最小值g（a），根据函数的单调性求出g（a）的最大值即可；
（Ⅲ）求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ） 函数f（x）在（0，2）上递减??x∈（0，2），恒有f'（x）≤0成立，
而$f'（x）=\frac{ax-2}{x^2}≤0$⇒?x∈（0，2），恒有$a≤\frac{2}{x}$成立，
而$\frac{2}{x}＞1$，则a≤1满足条件．…（4分）
（Ⅱ）当a＞0时，$f'（x）=\frac{ax-2}{x^2}=0⇒$$x=\frac{2}{a}$

x	$（0，\frac{2}{a}）$	$\frac{2}{a}$	$（\frac{2}{a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

f（x）的最小值g（a）=$f（\frac{2}{a}）=a+aln\frac{2}{a}$…（7分）g'（a）=ln2-lna=0⇒a=2

a	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（a）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

g（a）的最大值为g（2）=2                                     …（9分）
（Ⅲ） 当a≥2时，h（x）=f（x）+（a-2）x=$\frac{2}{x}+alnx+（a-2）x$，
$h'（x）=\frac{ax-2}{x^2}+a-2≥0$，
所以h（x）在[1，+∞）上是增函数，故h（x）≥h（1）=a≥2，
当a＜2时，h（x）=f（x）-（a-2）x=$\frac{2}{x}+alnx-（a-2）x$，
$h'（x）=\frac{ax-2}{x^2}-a+2=\frac{（（2-a）x+2）（x-1）}{x^2}=0$，
解得$x=-\frac{2}{2-a}＜0$或x=1，h（x）≥h（1）=4-a＞2，
综上所述：h（x）≥2…（15分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．