Question

2．已知点F是抛物线C：y²=4x的焦点，P是抛物线C在第一象限内的点，且|PF|=5．
（1）求点P的坐标；
（2）以P为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长PA、PB分别交抛物线C于M、N两点．
①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
②延长NM交x轴于点E，若|EM|=$\frac{1}{3}$|NE|，求cos∠MPN的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义求出P到准线的距离为5，从而得出P的横坐标，代入抛物线方程得出坐标系；
（2）①设PA斜率为k，得出PA，PB方程，联立方程组解出M，N的坐标，计算MN的斜率；
②求出E点坐标，根据向量关系得出k，从而得出A，B坐标，利用余弦定理得出cos∠MPN．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀）（y₀＞0），由已知得F（1，0），则|PF|=x₀+1=5，x₀=4，
∴y₀=4，∴点P的坐标是（4，4）．
（2）①设直线PA的方程为y-4=k（x-4）（k≠0），M（x₁，y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}y-4=k（x-4）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得ky²-4y+16-16k=0，
∴${y_1}+4=\frac{4}{k}，{y_1}=\frac{4}{k}-4$，∴$M（\frac{{4{{（1-k）}^2}}}{k^2}，\frac{4}{k}-4）$．
由已知PA=PB，∴直线PB的斜率为-k，∴$N（\frac{{4{{（1+k）}^2}}}{k^2}，-\frac{4}{k}-4）$，
∴${k_{MN}}=\frac{{\frac{4}{k}-4+\frac{4}{k}+4}}{{\frac{{4{{（1-k）}^2}}}{k^2}-\frac{{4{{（1+k）}^2}}}{k^2}}}=-\frac{1}{2}$．
②设E（t，0），∵|EM|=$\frac{1}{3}$|NE|，∴$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{EN}$，
∴$\frac{4}{k}-4$=$\frac{1}{3}$（-$\frac{4}{k}$-4），解得k=2．
∴直线PA的方程为y=2x-4，则A（2，0），同理B（6，0）．
∴$cos∠MPN=cos∠APB=\frac{{P{A^2}+P{B^2}-A{B^2}}}{2PA•PB}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．