题目内容

在空间四边形ABCD中，
AB
=
a
-2
c
，
CD
=5
a
+6
b
-8
c
，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，若
PQ
=m
a
+n
b
+p
c
，则m+n+p=
1
1
．
分析：根据AC、BD的中点分别为P、Q，结合向量的线性运算法则算出
PQ
=
1
2
(
AB
+
CD
)，从而得到
PQ
=3
a
+3
b
-5
c
，与题意
PQ
=m
a
+n
b
+p
c
加以比较，解出m、n、p的值，可得本题答案．
解答：解：∵Q为BD的中点，∴
AQ
=
1
2
(
AB
+
AD
)，
又∵P为AC的中点，可得
AP
=
1
2
AC
=
1
2
(
AD
+
DC
)
∴
PQ
=
AQ
-
AP
=
1
2
(
AB
+
AD
)-
1
2
(
AD
+
DC
)=
1
2
(
AB
+
CD
)．
∵
AB
=
a
-2
c
，
CD
=5
a
+6
b
-8
c

∴
PQ
=
1
2
(
AB
+
CD
)=
1
2
[(
a
-2
c
)+(5
a
+6
b
-8
c
)]=3
a
+3
b
-5
c
，
∵
PQ
=m
a
+n
b
+p
c
，
∴根据空间向量基本定理，得m=3，n=3，p=-5．
由此可得m+n+p=3+3-5=1
故答案为：1
点评：本题在空间四边形中给出对角线的中点，求向量的线性表示式．着重考查了向量的线性运算法则和空间向量基本定理等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
8、在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点E，F，G，H，若EH、FG所在直线相交于点P，则（　　）
在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H使
AE
EB
=
AH
HD
=1，
CF
FB
=
CG
GD
=
1
2
，则（　　）
在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则
AB
+
1
2
BC
-
3
2
DE
-
AD
化简后的结果为（　　）
A、
AB
B、2
BD
C、
0
D、2
DE
（2011•顺义区一模）如图，已知在空间四边形ABCD中，AB=AC=DB=DC，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=5，BC=6，AD=4，求几何体ABCD的体积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若G为△ABD的重心，试问在线段BC上是否存在点F，使GF∥平面ADE？若存在，请指出点F在BC上的位置，若不存在，请说明理由．
在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，若四边形EFGH的面积为
3
8
a2，则异面直线AC与BD所成的角为（　　）
A、30°B、60°
C、120°D、60°或120°

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