Question

19．已知两数f（x）=sin2x-cos2x（x∈（0，π）），若f′（x₀）=2，则x₀=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据辅助角公式，求得f（x）的解析式，求导，令f′（x₀）=2，即cos（2x₀-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据函数图象即可求得的x₀值．

解答 解：f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
f′（x）=2$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），
∵f′（x₀）=2，
∴2$\sqrt{2}$cos（2x₀-$\frac{π}{4}$）=2，
cos（2x₀-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x₀∈（0，π），
∴2x₀-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$
∴x=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查辅助角公式，考查余弦函数的导数，余弦函数图象的应用，属于基础题．