Question

15．近期受台风影响给某城市经济造成极大损失，为挽回经济损失，某厂家拟举办大型促销活动，经测算，当某产品的促销费用为x万元时，其销售量t万件满足t=5-$\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a²-3a+3，a＞0），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需要投入成本（10+2t）万元（不含促销费用）产品的销售价格定为（4+$\frac{20}{t}$）万元/万件．
（1）将该产品的利润y万元表示成促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家利润最大．

Answer 1

分析 （1）确定该产品售价为2×（$\frac{10+2t}{t}$）万元，y=2×（$\frac{10+2t}{t}$）×t-10-2t-x，销售量t万件满足$t=5-\frac{2}{x+1}$代入化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大．

解答 解：（1）由题知利润$y=t（4+\frac{20}{t}）-（10+2t）-x$，
将$t=5-\frac{2}{x+1}$带入化简得：$y=20-x-\frac{4}{x+1}$（0≤x≤a²-3a+3，a＞0）
（2）当0＜a≤1，a≥2⇒a²-3a+3≥1，$y=20-x-\frac{4}{x+1}=20-（x+1+\frac{4}{x+1}-1）≤20-2\sqrt{（x+1）×\frac{4}{x+1}}+1=17$
当1＜a＜2⇒a²-3a+3＜1，$y=20-x-\frac{4}{x+1}≤17-{a^2}+3a-\frac{4}{{{a^2}-3a+4}}$．
综上述，当a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当1＜a＜2时，促销费用投入x=a²-3a+3万元时，厂家的利润最大．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．