题目内容
5．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，若四面体ABCD体积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则这个球的表面积为（ ）| A． | $\frac{500π}{81}$ | B． | 4π | C． | $\frac{25π}{9}$ | D． | $\frac{100π}{9}$ |
分析 根据几何体的特征，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，可得DQ与面ABC垂直时体积最大，从而求出球的半径，即可求出球的表面积．
解答 解：根据题意知，A、B、C三点均在球心O的表面上，
且|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圆半径2r=2，即r=1，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为$\frac{1}{3}$S△ABC×DQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴DQ=3，
设球的半径为R，则
在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（3-R）2，∴R=$\frac{5}{3}$，
∴球的表面积为$4π•\frac{25}{9}$=$\frac{100π}{9}$，
故选D．
点评 本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．
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