Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+

n+2

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*）．
（1）若数列{b_n}满足b_n=a_n+

1

n+1

（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=

2n

(n+1)an+1

，记 S_n=c₁•c₂+c₂•c₃+…+c_n•c_n+1，求使S_n＞

7

9

的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由b_n=a_n+

1

n+1

（n∈N^*），变形an=bn-

1

n+1

，代入a_n=2a_n-1+

n+2

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*）．可得b_n=2b_n-1．即可证明；
（2）由（1）得bn=

3

2

×2n-1，可得an=

3

2

×2n-1-

1

n+1

，c_n=

4

3(n+1)

，可得c_n•c_n+1=

16

9

(

1

n+1

-

1

n+2

)，利用“裂项求和”可得S_n，进而解出即可．

解答： （1）证明：∵b_n=a_n+

1

n+1

（n∈N^*），
∴an=bn-

1

n+1

，代入a_n=2a_n-1+

n+2

n(n+1)

=2a_n-1+

2

n

-

1

n+1

（n≥2，n∈N^*）．
∴a_n+

1

n+1

=2（2a_n-1+

1

n

），
化为b_n=2b_n-1．
b1=a1+

1

2

=

3

2

，
∴{b_n}是以

3

2

为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）得bn=

3

2

×2n-1，
∴an=

3

2

×2n-1-

1

n+1

，
∴c_n=

2n

(n+1)an+1

=

4

3(n+1)

，
∴c_n•c_n+1=

4

3(n+1)

×

4

3(n+2)

=

16

9

(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴S_n=c₁•c₂+c₂•c₃+…+c_n•c_n+1=

16

9

[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]
=

16

9

(

1

2

-

1

n+2

)，
由S_n＞

7

9

，化为

1

2

-

1

n+2

＞

7

16

，

1

16

＞

1

n+2

，解得n＞14，
∴满足条件的最小正整数n等于15．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．