Question

3．在平面直角坐标系中，函数f（x）=（b-2）x²+2bx-1的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）圆C过定点（即坐标与b无关）吗？试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x₀，y₀），将其代入圆的方程变形为b（x₀²+y₀²+2x₀+y₀）+（-2x₀²-2y₀²-3y₀-1）=0，因为x₀，y₀不依赖于b得取值，所以得到x₀²+y₀²+2x₀+y₀=0且-2x₀²-2y₀²-3y₀-1=0，即可求出定点的坐标．

解答 解：（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，-1）；
令f（x）=（b-2）x²+2bx-1=0，由题意b-2≠0且△＞0，解得b＜-2或b＞1且b≠2．
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0这与（b-2）x²+2bx-1=0是同一个方程，故D=$\frac{2b}{b-2}$，F=-$\frac{1}{b-2}$．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一个根为-1，代入得出E=1+F=$\frac{b-3}{b-2}$．
所以圆C的方程为x²+y²+$\frac{2b}{b-2}$x+$\frac{b-3}{b-2}$y-$\frac{1}{b-2}$=0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x₀，y₀）（x₀，y₀不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为b（x₀²+y₀²+2x₀+y₀）+（-2x₀²-2y₀²-3y₀-1）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜-2或b＞1且b≠2的b都成立，必须有x₀²+y₀²+2x₀+y₀=0且-2x₀²-2y₀²-3y₀-1=0
解得x₀=0，y₀=-1或x₀=$\frac{2}{17}$，y₀=-$\frac{9}{17}$
因此圆C过定点（$\frac{2}{17}$，-$\frac{9}{17}$）和（0，-1）．

点评 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．