Question

15．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N（60，100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有13人．
（1）求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
（2）若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
注：参考数值：P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544 P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，根据成绩在90分以上（含90分）的学生有13名，列出大于90分的学生的概率，成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的0.0013，列出比例式，得到参赛的总人数．
（2）设受奖的学生的分数线为x₀．由P（X≥x₀）=$\frac{228}{10000}$=0.0228＜0.5，可得x₀＞60．进一步得知P（120-x₀＜X＜x₀）=1-2P（X≥x₀）=0.9544，即可得x₀=60+20=80，故受奖学生的分数线是80．

解答 解：（1）设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，
∵X～N（60，100），∴μ=60，σ=10．
∴P（X≥90）=$\frac{1}{2}$•[1-P（30＜X＜90）]=$\frac{1}{2}•$（1-0.9974）=0.0013．
又P（X≥90）=$\frac{13}{n}$，∴$\frac{13}{n}$=0.0013．∴n=10000．
故此次参加竞赛的学生总数共有10000人．
（2）设受奖的学生的分数线为x₀．则P（X≥x₀）=$\frac{228}{10000}$=0.0228．
∵0.0228＜0.5，∴x₀＞60．∴P（120-x₀＜X＜x₀）=1-2P（X≥x₀）=0.9544，
∴x₀=60+20=80．
故受奖学生的分数线是80．

点评 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查标准正态分布表的应用，考查学生的计算能力，是一个实际应用问题．