Question

6．已知向量$\overrightarrow a=（{1，\sqrt{3}}），\overrightarrow b=（{-2，0}）$．
（Ⅰ）求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角；
（Ⅲ）当t∈[-1，1]时，求$|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的坐标运算求模长即可；
（2）利用平面向量的数量积求夹角即可；
（3）利用二次函数在闭区间上的最值求$|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 因为向量$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow b=（-2，0）$，
所以$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（1，\sqrt{3}）-（-2，0）=（3，\sqrt{3}）$；…（2分）
$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2\sqrt{3}$；…（4分）
（2）因为$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow a=6$，…（5分）
所以$cos\left?{\overrightarrow a-\overrightarrow b，\overrightarrow a}\right＞=\frac{（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow a}{{|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|•|{\overrightarrow a}|}}=\frac{6}{{4\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（7分）
所以向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角为$\frac{π}{6}$；…（8分）
（3）因为${|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|^2}={\overrightarrow a^2}-2t\overrightarrow a•\overrightarrow b+{t^2}{\overrightarrow b^2}$=4t²+4t+4=4${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+3，…（5分）
所以当t∈[-1，1]时，最小值是3，最大值是12；…（7分）
所以$|{\overrightarrow a-t\overrightarrow b}|$的取值范围是[$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．  …（8分）

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题，也考查了二次函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．