Question

5．已知f（x）=ax²+bx+c，g（x）=-bx．
（1）若a＞b＞c，a+b+c=0．求怔：f（x）与g（x）图象必有两个交点，设两交点为A、B，AB在x轴上的射影为A₁B₁，求|A₁B₁|的取值范围．
（2）若a∈N₊，f（x）=0有两个小于1的不等正根，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过ax²+2bx+c=0，利用韦达定理及完全平方公式计算可知|x₁-x₂|的表达式，结合a与c之间的关系化简即得结论；
（2）通过设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），利用基本不等式可知a²x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）≥1，另一方面利用基本不等式可知0＜x₂（1-x₂）≤$\frac{1}{4}$、0＜x₁（1-x₁）≤$\frac{1}{4}$，进而利用a²x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）为桥梁建立起1与$\frac{{a}^{2}}{16}$的大小关系，化简即得结论．

解答 （1）证明：依题意，ax²+bx+c=-bx，即ax²+2bx+c=0，
则△=4b²-4ac=4（b²-ac），
又∵b²=（a+c）²-ac=a²+c²+ac＞ac，
∴△＞0，即f（x）与g（x）图象必有两个交点；
由根与系数的关系可知，x₁+x₂=-$\frac{2b}{a}$=2+2$\frac{c}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{（2+2\frac{c}{a}）^{2}-4\frac{c}{a}}$
=2$\sqrt{1+\frac{c}{a}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$
=2$\sqrt{（\frac{c}{a}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
由a+b+c=0，a＞b＞c得：a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
于是得到：-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$＜$\frac{c}{a}$+$\frac{1}{2}$＜0，
∴|x₁-x₂|∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
于是|A₁B₁|的取值范围是：（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；
（2）解：设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），a∈N₊，
∵f（x）为整系数多项式，
∴f（0）=ax₁x₂≥1且f（1）=a（1-x₁）（1-x₂）≥1，
由不等式的乘法知：a²x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）≥1，
由0＜x₁＜1可知：0＜x₂（1-x₂）≤$（\frac{{x}_{2}+1-{x}_{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当x₂=$\frac{1}{2}$时取等号，
由0＜x₂＜1可知：0＜x₁（1-x₁）≤$（\frac{{x}_{1}+1-{x}_{1}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当x₁=$\frac{1}{2}$时取等号，
又∵x₁≠x₂，
∴0＜x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）＜$\frac{1}{16}$，即a²x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）＜$\frac{{a}^{2}}{16}$，
∴1≤a²x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）＜$\frac{{a}^{2}}{16}$，即a²＞16，
∴a的最小值为5．

点评 本题考查二次函数的性质，涉及韦达定理，基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于难题．