Question

9．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-$\frac{2}{3}$，x=1处都取得极值
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²+2ax+b，由题意可得：${f}^{′}（-\frac{2}{3}）$=f′（1）=0，联立解得a，b．可得f（x），令f′（x）≤0，解出即可得出函数f（x）的单调递减区间．
（2）由（1）可得：f（x）=）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立?$（{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）_{max}$＜c²-c，令g（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，x∈[-1，2]，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵${f}^{′}（-\frac{2}{3}）$=f′（1）=0，
∴$3×（-\frac{2}{3}）^{2}$+2a×$（-\frac{2}{3}）$+b=0，3+2a+b=0，
联立解得a=$-\frac{1}{2}$，b=-2．
f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
令f′（x）=（3x+2）（x-1）≤0，
解得$-\frac{2}{3}≤x≤1$．
∴函数f（x）的单调递减区间为$[-\frac{2}{3}，1]$．
（2）由（1）可得：f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立?$（{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）_{max}$＜c²-c，
令g（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，x∈[-1，2]，
∴g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
由（1）可得：函数g（x）在$[-1，-\frac{2}{3}]$，[1，2]上单调递增，在区间$[-\frac{2}{3}，1]$上单调递减．
而$g（-\frac{2}{3}）$=$\frac{22}{27}$，g（2）=2．∴g（x）_max=2．
∴c²-c＞2，即c²-c-2＞0，
解得c＞2，或c＜-1．
∴c的取值范围（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．