题目内容
15．若O为△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则S△OBC：S△AOC：S△ABO=（ ）| A． | 3：2：1 | B． | 2：1：3 | C． | 1：3：2 | D． | 1：2：3 |
分析 如图所示，延长OB到D，使得BD=OB，延长OC到E，使得CE=2OC．连接AD，DE，CE．根据$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得点O为△ADE的重心．利用重心的性质、三角形面积计算公式即可得出．
解答 解：如图所示，延长OB到D，使得BD=OB，延长OC到E，使得CE=2OC．连接AD，DE，CE．
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴点O为△ADE的重心．
∴S△OBC=$\frac{1}{6}{S}_{△ODE}$=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{3}$S△ADE=$\frac{1}{18}$S△ADE；
S△AOC=$\frac{1}{3}{S}_{△OAE}$=$\frac{1}{9}$S△ADE；
S△ABO=$\frac{1}{2}{S}_{△OAD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△ADE}$=$\frac{1}{6}$S△ADE．
∴S△OBC：S△AOC：S△ABO=$\frac{1}{18}$：$\frac{1}{9}$：$\frac{1}{6}$=1：2：3．
故选：D．
点评 本题考查了平面向量共线定理、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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