Question

16．（1）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$的值；
（2）已知2sin2α=1+cos2α，求tan2α的值．

Answer 1

分析 （1）可分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出O，A，P三点的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{OP}$的坐标，进而便可求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$的值；
（2）根据二倍角的正余弦公式，可由2sin2α=1+cos2α得到4sinαcosα=2cos²α，可看出要讨论cosα是否为0：cosα=0时可求出α的值，进而得出2α的值，从而求出tan2α，而cosα≠0时可求出tanα的值，根据二倍角的正切公式即可求出tan2α的值．

解答 解：（1）分别以OB，OA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：

O（0，0），A（0，1），B（1，0），C（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$P（\frac{1}{4}，\frac{1}{4}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（\frac{1}{4}，-\frac{3}{4}），\overrightarrow{OP}=（\frac{1}{4}，\frac{1}{4}）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}=\frac{1}{16}-\frac{3}{16}=-\frac{1}{8}$；
（2）由2sin2α=1+cos2α得，4sinαcosα=2cos²α；
∴若cosα=0，$α=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$；
∴tan2α=tan（π+2kπ）=tanπ=0；
若cosα≠0，则2sinα=cosα；
∴$tanα=\frac{1}{2}$；
∴$tan2α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$．

点评 考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，中点坐标公式，以及由点的坐标求向量坐标，向量数量积的坐标运算，二倍角的正余弦和正切公式．