Question

16．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）²+y²=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}∈[{\frac{2}{3}，\frac{3}{4}}]$，求△ABO的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=$\sqrt{2}$，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．
（2）l与以EP为直径的圆x²+y²=1相切，从而m²=k²+1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．

解答 解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，
由题意知圆E的半径为2$\sqrt{2}$，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2$\sqrt{2}$＞|EP|，
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=a²-c²=1，
∴M的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）l与以EP为直径的圆x²+y²=1相切，则O到l即直线AB的距离：
$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²=k²+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，
∴△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）=8k²＞0，k²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，∴$\frac{2}{3}≤\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}≤\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{2}≤{k}^{2}≤1$，
${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}×|AB|×1$
=$\frac{1}{2}×\sqrt{1+{k}^{2}}×\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{2（{k}^{4}+{k}^{2}）}{4（{k}^{4}+{k}^{2}）+1}}$，
设μ=k⁴+k²，则$\frac{3}{4}≤μ≤2$，
∴${S}_{△AOB}=\sqrt{\frac{2μ}{4μ+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2（4μ+1）}}$，$μ∈[\frac{3}{4}，2]$，
∵S_△AOB关于μ在[$\frac{3}{4}$，2]单调递增，
∴$\frac{\sqrt{6}}{4}≤{S}_{△AOB}≤\frac{2}{3}$，∴△AOB的面积的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，考查圆、椭圆、根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式、换元法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．