Question

18．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由向量和和差角的三角函数公式化简可得f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可得；
（2）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，f（x）取最大值，可得此时x的取值集合．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，f（x）取最大值，
解得x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故此时x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数的周期性和最值，涉及向量的数量积，属基础题．