Question

某制药厂开发出一种新药投放市场，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线．
（1）写出服药后y与时间之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效
1）求服药一次治疗疾病的有效时间；
2）当t=7时第二次服药，求服药1小时后每毫升血液中的含药量．

Answer 1

分析：（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两段函数均过M（2，8），故我们可将M点代入函数的解析式，求出参数值后，即可得到函数的解析式．
（2）1）由（1）的结论我们将函数值0.25代入函数解析式，构造方程，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．
2）当t=7时第二次服药，服药1小时后每毫升血液中的含药量有两部分组成，一部分是第一服药在血液中的含量，另一部分是第二服药在血液中的含量，将两部分相加即可求出所求．

解答：解：（1）当0≤t≤2时，y=4t；
当t≥2时，y=(

1

2

)t-a，
此时M（2，8）在曲线上，
∴8=(

1

2

)2-a， a=5，
这时y=(

1

2

)t-5．
所以y=f(t)=

4t      (0≤t≤2) ( 1 2 )t-5 (t≥2)

．
（2）1）∵f（t）≥0.25，即

4t≥0.25 ( 1 2 )t-5≥0.25

，
解得

t≥ 1 16 t≤7

，
∴

1

16

≤t≤7．
∴服药一次治疗疾病有效的时间为7-

1

16

=6

15

16

个小时．
2）第一服药在血液中的含量为y=(

1

2

)8-5=

1

8

第二服药在血液中的含量为y=4
∴当t=7时第二次服药，服药1小时后每毫升血液中的含药量为4+

1

8

=

33

8

毫克．

点评：已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．