Question

19．下列四个命题中，正确的个数是（　　）
①命题“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“对于任意的x∈R，x²-x＜0”；
②若函数f（x）在（2016，2017）上有零点，则f（2016）•f（2017）＜0；
③在公差为d的等差数列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₄成等比数列，则公差d为-$\frac{1}{2}$；
④函数y=sin2x+cos2x在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{8}$]．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 写出原命题的否定，可判断①；根据函数零点的存在定理，可判断②；求出满足条件的公差，可判断③；根据三角函数的单调性，可判断④

解答 解：①命题“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“对于任意的x∈R，x²-x≤0”；故错误；
②若函数f（x）在（2016，2017）上有零点，则f（2016）•f（2017）＜0不一定成立，故错误；
③在公差为d的等差数列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₄成等比数列，则（2+2d）²=2（2+3d），
解得：d=-$\frac{1}{2}$，或d=0，故错误；
④函数y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，令2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
解得：x∈[0，$\frac{π}{8}$]．即在[0，$\frac{π}{2}$]上函数y=sin2x+cos2x的单调递增区间为[0，$\frac{π}{8}$]．故正确；
故选：B．

点评 本题以命题的真假判断应用为载体，考查了特称命题，函数的零点，数列，三角函数的单调性等知识点，难度中档．