Question

10．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆顶点，F₂为右焦点，延长B₁F₂与A₂B₂交于点P，若∠B₁PB₂为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根据∠B₁PB₂为$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夹角，并分别表示出$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$，由∠B₁PB₂为钝角，$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$＜0，得ac-b²＜0，利用椭圆的性质，可得到e²+e-1＜0，即可解得离心率的取值范围．

解答 解：如图所示，∠B₁PB₂为$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夹角；
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$=（-a，b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），
∵向量的夹角为钝角时，$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$＜0，
∴ac-b²＜0，
又b²=a²-c²，
∴a²-ac-c²＞0；
两边除以a²得1-e-e²＞0，
即e²+e-1＜0；
解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又∵0＜e＜1，
∴0＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案选：C．

点评 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时利用向量的数量积小于0，建立不等式，求出正确的结论，是中档题．