Question

18．已知函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，且f（1）≠0，则f（2014）=（　　）

• A． 1007
• B． 1006
• C． 2014
• D． 2013

Answer 1

分析 利用赋值法求出f（x）的解析式之间的关系，即可求f（2014）的值．

解答 解：由题意：函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，
∴取x=y=0，可得f（0）=0，
取x=0，y=1，得f（1）=f（0）+2[f（1）]²，即f（1）=2[f（1）]²．
∵f（1）≠0，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$．
取x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+2[f（1）]2=f（n）+$\frac{1}{2}$．
即f（x+1）-f（x）=$\frac{1}{2}$
那么：f（2013+1）-f（2013）=$\frac{1}{2}$
f（2012+1）-f（2012）=$\frac{1}{2}$
f（2011+1）-f（2011）=$\frac{1}{2}$
…
…
f（2+1）-f（2）=$\frac{1}{2}$
f（1+1）-f（1）=$\frac{1}{2}$
等式的左边加左边=右边加右边．
即：f（2014）-f（1）=$\frac{1}{2}$×2013
那么：f（2014）=$\frac{2013}{2}+\frac{1}{2}$=1007．
故选A．

点评 本题考查了利用赋值法求解抽象函数的解析式和递推关系求值的问题．属于中档题．