Question

16．已知函数g（x）=log₂x．
（I）正项数列{a_n}满足a₁=1，g（a_n+1）-g（a_n）=1，（n∈N⁺），求数列{a_n}的前n项和S_n．
（Ⅱ）令函数f（x）=g（x）+x-a，若曲线y=sinx+cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）上存在（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）运用对数的运算性质和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和；
（Ⅱ）由题意运用辅助角公式和正弦函数的值域可得存在y₀∈[1，$\sqrt{2}$]，使f（y₀）=y₀成立，即f（x）=x在[1，$\sqrt{2}$]上有解，即log₂x=a，x∈[1，$\sqrt{2}$]，利用对数函数的单调性求函数的值域，可得a的范围．

解答 解：（I）函数g（x）=log₂x，
可得g（a_n+1）-g（a_n）=log₂a_n+1-log₂a_n=1，
即有公比q=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，
则有前n项和S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1；
（Ⅱ）函数f（x）=g（x）+x-a=log₂x+x-a在（0，+∞）递增，
y₀=sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$sin（x₀+$\frac{π}{4}$），
由x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得x₀+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
可得y₀∈[1，$\sqrt{2}$]，
f（y₀）=log₂y₀+y₀-a，
由曲线y=sinx+cosx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，
可得存在y₀∈[1，$\sqrt{2}$]，使f（y₀）=y₀成立，
即f（x）=x在[1，$\sqrt{2}$]上有解，即log₂x=a在[1，$\sqrt{2}$]上有解．
a为g（x）在[1，$\sqrt{2}$]上的值域．
由函数g（x）在[1，$\sqrt{2}$]上是增函数，
故g（1）≤g（x）≤g（$\sqrt{2}$），即0≤a≤$\frac{1}{2}$，
即有a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查对数函数的单调性和正弦函数的图象和性质，由单调性求函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．