Question

1．已知函数f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx（a∈R）的图象经过点（$\frac{π}{3}$，0）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点$（\frac{π}{3}，0）$，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；
（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为函数$f（x）=asinx-\sqrt{3}cosx$的图象经过点$（\frac{π}{3}，0）$，
所以 $f（\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=0$，
解得 a=1；   …（3分）
所以$f（x）=sinx-\sqrt{3}cosx=2sin（x-\frac{π}{3}）$，
所以f（x）最小正周期为T=2π；        …（6分）
（Ⅱ）因为$\frac{π}{2}≤x≤\frac{3π}{2}$，所以$\frac{π}{6}≤x-\frac{π}{3}≤\frac{7π}{6}$；
所以当$x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{5π}{6}$时，f（x）取得最大值，最大值是2；
当$x-\frac{π}{3}=\frac{7π}{6}$，即$x=\frac{3π}{2}$时，f（x）取得最小值，最小值是-1；
所以f（x）的取值范围是[-1，2]．      …（13分）

点评 本题考查了用待定系数法求函数的解析式以及求函数值域的应用问题，是基础题目．