题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnx-x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，yM），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，yN）．则
的范围是（ ）
| yN |
| yM |
| A、（-∞，-1]∪[3，+∞） |
| B、（-∞，-3]∪[1，+∞） |
| C、[3，+∞） |
| D、（-∞，-3] |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：综合题,导数的概念及应用
分析：设出P的坐标，求导函数，可得曲线在点P处的切线l的方程，过点P作l的垂线的方程，令x-0，可得yM=-a，yN=alna-a+
，进而可求
=-lna+1-
，利用基本不等式，即可求出
的范围．
| a |
| lna |
| yN |
| yM |
| 1 |
| lna |
| yN |
| yM |
解答：解：设P（a，alna-a），则
∵f（x）=xlnx-x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲线在点P处的切线l的方程为y-alna+a=lna（x-a），即y=-a+xlna．
令x=0，可得yM=-a，
过点P作l的垂线的方程为y-alna+a=-
（x-a），
令x=0，可得yN=alna-a+
，
∴
=-lna+1-
，
∵lna+
≥2或lna+
≤-2，
∴-（lna+
）≤-2或-（lna+
）≥2，
∴
=-lna+1-
的范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故选A．
∵f（x）=xlnx-x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲线在点P处的切线l的方程为y-alna+a=lna（x-a），即y=-a+xlna．
令x=0，可得yM=-a，
过点P作l的垂线的方程为y-alna+a=-
| 1 |
| lna |
令x=0，可得yN=alna-a+
| a |
| lna |
∴
| yN |
| yM |
| 1 |
| lna |
∵lna+
| 1 |
| lna |
| 1 |
| lna |
∴-（lna+
| 1 |
| lna |
| 1 |
| lna |
∴
| yN |
| yM |
| 1 |
| lna |
故选A．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2-6x+21）+f（y2-8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（ ）
| A、（9，25） |
| B、（13，49） |
| C、（3，7） |
| D、（9，49） |
设抛物线y2=16x的准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率为2的双曲线的两条准线之间的距离等于（ ）
| A、4 | B、2 | C、8 | D、10 |
已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则
=（ ）
| k1 |
| k2 |
A、-
| ||
B、
| ||
| C、1 | ||
| D、2 |
抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：
-
=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，C1与C2的两条渐近线分别交于异于原点的两点C，D，且AB，CD分别过C2，C1的焦点，则
=（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| |AB| |
| |CD| |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
若曲线y=ex-2x上的点（1，b）到曲线在x=0处的切线的距离为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、e |
过点（0，-1）的直线l与两曲线y=lnx和x2=2py均相切，则p的值为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、2 | ||
| D、4 |
曲线y=x3-2x2在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
| A、y=x-2 |
| B、y=-3x+2 |
| C、y=2x-3 |
| D、y=-x |
上的函数
、
满足
，且
，
，若有穷数列
的前
项和等于
，则
=