Question

8．若a，b，c是不全相等的正数，求证：ln$\frac{a+b}{2}$+ln$\frac{b+c}{2}$+ln$\frac{c+a}{2}$＞lna+lnb+lnc．

Answer 1

分析 先根据基本不等式可得 $\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$＞0，$\frac{b+c}{2}$≥$\sqrt{bc}$＞0，$\frac{a+c}{2}$≥$\sqrt{ac}$＞0，然后根据不等式的性质可得 $\frac{a+b}{2}$•$\frac{b+c}{2}$•$\frac{a+c}{2}$＞abc成立，两边同取常用对数，即可证得结论．

解答 证明：∵a，b，c∈R⁺，
∴$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$＞0，$\frac{b+c}{2}$≥$\sqrt{bc}$＞0，$\frac{a+c}{2}$≥$\sqrt{ac}$＞0…（4分）
又上述三个等式中等号不能同时成立
∴$\frac{a+b}{2}$•$\frac{b+c}{2}$•$\frac{a+c}{2}$＞abc成立．…（6分）
ln（ $\frac{a+b}{2}$•$\frac{b+c}{2}$•$\frac{a+c}{2}$）＞ln（abc）
∴ln$\frac{a+b}{2}$+ln$\frac{b+c}{2}$+ln$\frac{c+a}{2}$＞lna+lnb+lnc．…（12分）

点评 本题主要考查了对数函数性质的综合应用，以及基本不等式的应用，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．