Question

AF是圆O的直径，B，C是圆上两点，AB与AC的延长线分别交过点F的切线于点D，E，
求证：（Ⅰ）B，C，D，E四点共圆；
（Ⅱ）AB·AD=AC·AE。

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接BF， ∵AF是圆O的直径，DE与圆O切于点F， ∴AF⊥DE， 又点B在圆O上， ∴∠ABF=90°，∠AFB=∠D， 又∠AFB=∠ACB， ∴∠ACB=∠D， 而∠ACB是四边形BDEC的一个外角， ∴B，C，D，E四点共圆；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ACB=∠D，∠ABC=∠E， ∴△ABC∽△AED， ∴， 即AB·AD= AC·AE。