Question

20．一个直径AB=2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS=AB，C为半圆上一个动点，N，M分别为A在SC，SB上的射影．当三棱锥S-AMN的体积最大时，∠BAC的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 推导出SA⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥平面SAC，再推导出AN⊥平面SBC，得AN⊥SB，又AM⊥SB，从而SM为三棱锥S-AMN中平面AMN上的高，进而得到当AN=MN=1时，△AMN的面积S取得最大值，由此能求出当三棱锥S-AMN的体积最大时∠BAC的余弦值．

解答 解：如图所示，SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以SA⊥BC，又由BC⊥AC，SA∩AC=A，
SA，AC?平面SAC，所以BC⊥平面SAC，
又由AN?平面SAC，所以BC⊥AN，
又由AN⊥SC，SC∩BC=C，SC，BC?平面SBC，
所以AN⊥平面SBC，
又由SB?平面SBC，所以AN⊥SB，
又由AM⊥SB，AN∩AM=A，AM，AN?平面AMN，
所以SB⊥平面AMN，即SM为三棱锥S-AMN中平面AMN上的高，
因为SA=AB=2，所以AM=SM=$\sqrt{2}$，
而AN⊥MN，故△AMN是斜边为$\sqrt{2}$的直角三角形，
故当AN=MN=1时，△AMN的面积S取得最大值，
∵SA=2，AN=1，AN⊥SC，∴∠ASC=30°，∴SC=2AC，
∴SA²=（2AC）²-AC²，即4=3AC²，解得AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以cos$∠BAC=\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故当三棱锥S-AMN的体积最大时∠BAC的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查当三棱锥的体积最大时角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．