Question

13．已知函数f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx，其中a为正常数．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[2，4]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为$\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$，令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，结合函数的单调性求出函数的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）若a=1，则f（x）=3x-2x²+ln x，该函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+3=$\frac{-4x2+3x+1}{x}$=$\frac{-（4x+1）（x-1）}{x}$ （x＞0）．…（2分）
当x∈（0，1），f′（x）＞0时，函数f（x）=3x-2x²+ln x单调递增．
当x∈（1，+∞），f′（x）＜0时，函数f（x）=3x-2x²+ln x单调递减．
故函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．…（6分）
（2）f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$，若函数f（x）在区间[2，4]上为单调递增函数，
即在区间[2，4]上，f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$≥0，
即$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$≥0在[2，4]上恒成立．…（8分）
即$\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$．
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因为函数h（x）在[2，4]上单调递增，
所以$h{（x）_{max}}=h（4）=\frac{63}{4}$，即$\frac{3}{a}$≥$\frac{63}{4}$，…（10分）
解之得$0＜a≤\frac{4}{21}$，∴实数a的取值范围为$\left\{{a|0＜a≤\frac{4}{21}}\right\}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．