Question

4．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：?x∈R，x²+（2k-3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k的不等式组，解出即可．

解答 解：∵y=kx+1在R递增，
∴k＞0，
由?x∈R，x²+（2k-3）x+1=0，得方程x²+（2k-3）x+1=0有根，
∴△=（2k-3）²-4≥0，解得：k≤$\frac{1}{2}$或k≥$\frac{5}{2}$，
∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，
∴命题p，q一真一假，
①若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{\frac{1}{2}＜k＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{5}{2}$；
②若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{k≤0}\\{k≤\frac{1}{2}或k≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴k≤0；
综上k的范围是（-∞，0]∪（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查一次函数以及二次函数的性质，是一道中档题．