Question

4．对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，则实数x的取值范围是[-4，5]．

Answer 1

分析 θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），可得$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）$=5+$（4ta{n}^{2}θ+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}）$，利用基本不等式的性质即可得出最小值．根据对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，可得|2x-1|≤$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）_{min}$，即可得出．

解答 解：∵θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），∴$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）$=5+$（4ta{n}^{2}θ+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}）$≥$5+2\sqrt{4ta{n}^{2}θ×\frac{1}{ta{n}^{2}θ}}$=9，当且仅当tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∵对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，
∴|2x-1|≤$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）_{min}$=9，
∴-9≤2x-1≤9，
解得-4≤x≤5．
∴实数x的取值范围是[-4，5]．
故答案为：[-4，5]．

点评 本题考查了基本不等式的性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．