Question

9．在△ABC中，若3AB=2AC，点E，F分别是AC，AB的中点，则$\frac{BE}{CF}$的取值范围为（$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）．

Answer 1

分析 设AB=c，AC=b，BC=a，利用中线长定理可得c²+a²=2BE²+$\frac{{b}^{2}}{2}$，b²+a²=2CF²+$\frac{{c}^{2}}{2}$，由于3c=2b．可得$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{18}}{{a}^{2}+\frac{7{b}^{2}}{9}}$=$\frac{135}{126+98（\frac{b}{a}）^{2}}$-$\frac{1}{14}$，利用三角形三边大小关系可得：a＜b+c，且a+c＞b，即可得出．

解答 解：设AB=c，AC=b，BC=a，
∵E、F分别是AC，AB的中点，
∴c²+a²=2BE²+$\frac{{b}^{2}}{2}$，b²+a²=2CF²+$\frac{{c}^{2}}{2}$，
∵3AB=2AC，即3c=2b．
∴2BE²=a²-$\frac{{b}^{2}}{18}$，
2CF²=a²+$\frac{7{b}^{2}}{9}$．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{18}}{{a}^{2}+\frac{7{b}^{2}}{9}}$=$\frac{18-（\frac{b}{a}）^{2}}{18+14（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{135}{126+98（\frac{b}{a}）^{2}}$-$\frac{1}{14}$，
∵a＜b+c，且a+c＞b，
∴$\frac{b}{a}$＞$\frac{3}{5}$，且$\frac{b}{a}$＜3．
∴$\frac{9}{25}$＜（$\frac{b}{a}$）²＜9．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$∈（$\frac{1}{16}$，$\frac{49}{64}$）．
∴$\frac{BE}{CF}$∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）．
故答案为：（$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）．

点评 本题考查了余弦定理、中线长定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．