题目内容
13．已知a＞0，b＞0，则$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，$\frac{2ab}{a+b}$中最小的是（ ）| A． | $\frac{a+b}{2}$ | B． | $\sqrt{ab}$ | C． | $\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$ | D． | $\frac{2ab}{a+b}$ |
分析 利用基本不等式的性质即可判断出结论．
解答 解：∵a＞0，b＞0，∴$\frac{2ab}{a+b}$$≤\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}{4}}$≥$\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{4}}$=$\frac{a+b}{2}$，当且仅当a=b＞0时取等号．
则$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，$\frac{2ab}{a+b}$中最小是$\frac{2ab}{a+b}$．
故选：D．
点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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