Question

14．已知M=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-2}&{1}\end{array}]$，α=$[\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}]$，试计算M⁵α．

Answer 1

分析 根据题意确定出M的特征多次式，进而求出λ的值，得到对应的特征向量，表示出α，即可求出所求式子的值．

解答 解：矩阵M的特征多次式为f（λ）=（λ-1）²-4=0，
解得：λ₁=3，λ₂=-1，
对应的特征向量分别为[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{-1}$]和[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{1}$]，
∵α=[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{-1}$]+2[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{1}$]，
∴M⁵α=3⁵[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{-1}$]+2×（-1）⁵[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{1}$]=[$\underset{\stackrel{{3}^{5}+2}{\;}}{-{3}^{5}+2}$]=[$\underset{\stackrel{245}{\;}}{-241}$]．

点评 此题考查了特征值、特征向量的应用，确定出对应的特征向量是解本题的关键．