Question

2．已知双曲线C：$\frac{x^2}{{a{\;}^2}}-\frac{y^2}{{b{\;}^2}}$=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=$\frac{π}{3}$且$\overrightarrow{OQ}=5\overrightarrow{OP}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=$\frac{1}{2}$R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论．

解答 解：因为∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}=5\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP为等边三角形，
设AQ=2R，则PQ=2R，OP=$\frac{1}{2}$R，
渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），
取PQ的中点M，则AM=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①，
在△OQA中，$\frac{（\frac{5}{2}R）^{2}+（2R）^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{5}{2}R•2R}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{21}{4}$R²=a²②
①②结合c²=a²+b²，
解得c²=$\frac{7}{4}$b²=$\frac{7}{4}$（c²-a²），
即为3c²=7a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质：离心率，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．