Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+a（x-lnx）．（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a＞0时，试求 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，2）上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）做题转化为e^x+ax=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有两个不同的根，且x≠=e，令g（x）=a=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）易知，函数的定义域为x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{（e}^{x}+ax）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当a＞0时，对于?x∈（0，+∞），e^x+ax＞0恒成立，
所以   若x＞1，f′（x）＞0，若0＜x＜1，f′（x）＜0，
所以单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（Ⅱ）由条件可知f′（x）=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）上有三个不同的根，
即e^x+ax=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有两个不同的根，
令g（x）=a=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
x∈（$\frac{1}{2}$，1）时单调递增，x∈（1，2）时单调递减，
∴g（x）_max=g（1）=-e，g（$\frac{1}{2}$）=-2$\sqrt{e}$，g（2）=-$\frac{1}{2}$e²，
∵-2$\sqrt{e}$-（-$\frac{1}{2}$e²）＞0，
∴-2$\sqrt{e}$＜a＜-e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．