Question

4．已知函数f（x）=2acos²$\frac{x}{2}$+2$\sqrt{3}$asin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-a+b，且f（$\frac{π}{3}$）=3，f（$\frac{5π}{6}$）=1
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式化简f（x），根据f（$\frac{π}{3}$）=3，f（$\frac{5π}{6}$）=1列方程组解出a，b；
（2）根据x的范围得出x+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的单调性求出f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=acosx+$\sqrt{3}$asinx+b=2asin（x+$\frac{π}{6}$）+b．
∵f（$\frac{π}{3}$）=3，f（$\frac{5π}{6}$）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得a=1，b=1．
（2）由（1）得：$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）+1$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值2×$\frac{1}{2}+1$=2，
当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值2×1+1=3．
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]上的值域为[2，3]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．