Question

7．已知函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$的最大值为1．
（1）求实数a的值；
（2）如果函数m（x），n（x）在公共定义域D上，满足m（x）＜n（x），那么就称n（x）为m（x）的“线上函数”，若p（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{（x+1）（x{e}^{x}+1）}$，q（x）=$\frac{f（x）}{e+1}$（x＞1），求证：q（x）是p（x）的“线上函数”．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$的最大值为1，则函数f（x）在（0，+∞）不单调，故有极值点，继而到函数的最大值，求出a即可，
（2）分别根据导数和函数的最值的关系，求出p（x）和q（x）最值，即可证明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$的最大值为1
∴f′（x）$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$=0，解得x=e^1-a，此时a≤1
∴f（x）_max=f（e^1-a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}$=1，
解得a=1
（2）由（1）可知q（x）=$\frac{f（x）}{e+1}$=$\frac{1+lnx}{x（e+1）}$，
∴q′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$＜0在（1，+∞）恒成立，
∴q（x）在（1，+∞）为减函数，
∴q（x）＜q（1）=$\frac{1}{e+1}$，
∵p（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{（x+1）（x{e}^{x}+1）}$，x＞1，
∴p′（x）=2e^x-1•$\frac{（-2x{e}^{x}+x）}{（x+1）^{2}（x{e}^{x}+1）^{2}}$＞0在（1，+∞）恒成立，
∴p（x）在（1，+∞）为增函数，
∴p（x）＞p（1）=$\frac{1}{e+1}$，
∴p（x）＞q（x），
∴q（x）是p（x）的“线上函数”．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查新定义的理解和运用，注意运用构造函数法，以及恒成立问题的解法，属于中档题．