题目内容
13．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为$\frac{1}{2}$，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
分析 （1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±$\frac{2{a}^{2}}{c}$，则2×$\frac{2{a}^{2}}{c}$=8，即可求得a和c的值，则b2=a2-c2=3，即可求得椭圆方程；
（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02-1，联立即可求得P点坐标；
方法二：设P（m，n），当m≠1时，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{n}{m-1}$，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{n}{m+1}$，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得$\frac{{m}^{2}-1}{n}$=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．
解答 解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，由2×$\frac{{a}^{2}}{c}$=8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b2=a2-c2=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
则直线l2的斜率k2=-$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$，直线l2的方程y=-$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$（x-1），
直线PF1的斜率${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
则直线l2的斜率k1=-$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$，直线l1的方程y=-$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}（x-1）}\\{y=-\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}（x+1）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-{x}_{0}}\\{y=\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，则Q（-x0，$\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}$），
由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=$\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}$，
∴y02=x02-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1}\\{{y}_{0}^{2}={x}_{0}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}=\frac{16}{7}}\\{{y}_{0}^{2}=\frac{9}{7}}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=±\frac{4\sqrt{7}}{7}}\\{{y}_{0}=±\frac{3\sqrt{7}}{7}}\end{array}\right.$，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，$\frac{3\sqrt{7}}{7}$）．
方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，
当m=1时，${k}_{P{F}_{2}}$不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，
当m≠1时，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{n}{m-1}$，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{n}{m+1}$，
由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则${k}_{{l}_{1}}$=-$\frac{m+1}{n}$，${k}_{{l}_{2}}$=-$\frac{m-1}{n}$，
直线l1的方程y=-$\frac{m+1}{n}$（x+1），①直线l2的方程y=-$\frac{m-1}{n}$（x-1），②
联立解得：x=-m，则Q（-m，$\frac{{m}^{2}-1}{n}$），
由Q在椭圆方程，由对称性可得：$\frac{{m}^{2}-1}{n}$=±n2，
即m2-n2=1，或m2+n2=1，
由P（m，n），在椭圆方程，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-1={n}^{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{16}{7}}\\{{n}^{2}=\frac{9}{7}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}={n}^{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，无解，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，$\frac{3\sqrt{7}}{7}$）．
点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．
口算题卡加应用题集训系列答案
综合自测系列答案| A． | 总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样 | |
| B． | 系统抽样过程中，在总体均分后的每一部分中抽取一个个体，得到所需样本 | |
| C． | 百货商场的抓奖活动是抽签法 | |
| D． | 整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时例外） |
| A． | f（x）的一个周期为-2π | B． | y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{8π}{3}$对称 | ||
| C． | f（x+π）的一个零点为x=$\frac{π}{6}$ | D． | f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）单调递减 |
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
| 箱产量＜50kg | 箱产量≥50kg | |
| 旧养殖法 | ||
| 新养殖法 |
附：
| P（K2≥K） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| K | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=$\sqrt{3}$，∠BAD=120°．| A． | 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到曲线C2 | |
| B． | 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到曲线C2 | |
| C． | 把C1上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到曲线C2 | |
| D． | 把C1上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到曲线C2 |
| A． | -$\frac{7}{9}$ | B． | -$\frac{2}{9}$ | C． | $\frac{2}{9}$ | D． | $\frac{7}{9}$ |