Question

7．S_n为数列{a_n}的前n项和，若S_n=5ⁿ+b，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}为等比数列，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=5ⁿ+b，可得：n=1时，a₁=S₁=5+b；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）由{a_n}为等比数列，可得a₁=5+b=4×5^1-1，解得b即可得出．

解答 解：（1）由S_n=5ⁿ+b，可得：
n=1时，a₁=S₁=5+b；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=5ⁿ+b-（5^n-1+b）=4×5^n-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5+b，n=1}\\{4×{5}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵{a_n}为等比数列，
∴a₁=5+b=4×5^1-1，
解得b=-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．