Question

16．设实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ 2x-y-4≤0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{49}{6}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（6，8）．
此时z=6a+8b=12，
即$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{3}$=1，
则$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$）（$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{3}$）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{8}{3}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥$\frac{25}{6}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}{b}}$=$\frac{25}{6}$+4=$\frac{49}{6}$，
当且仅当$\frac{2b}{a}$=$\frac{2a}{b}$时取=号，
故答案为：$\frac{49}{6}$

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．