Question

12．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）已知f（x）在（0，1）上递减，试求f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的单调性的定义，证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）根据f（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，求得f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值与最小值．

解答 证明：（Ⅰ）对于函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，任取x₂＞x₁≥1，
∴（x₁-x₂）＜0，x₁•x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）•{（x}_{1}{•x}_{2}-1）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数．
解：（Ⅱ）依题知，f（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．
又f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{10}{3}$，f（1）=2，f（2）=$\frac{5}{2}$，
所以f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值为$\frac{10}{3}$，最小值为2．

点评 本题主要考查函数的单调性的定义，函数的单调性的应用，属于中档题．