Question

10．如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=1，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）．
（Ⅰ）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面EFG；
（Ⅲ）求三棱锥C-EFG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件可得EF∥CD∥AB，利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面PAB．同理可证，EG∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB．再利用两个平面平行的性质可得AP∥平面EFG．
（Ⅱ）证明EF⊥平面PAD，即可证明：平面PAD⊥平面EFG；
（Ⅲ）根据V_C-EFG=V_G-CEF=$\frac{1}{3}$•S_△CEF•CG，运算求得结果．

解答 （Ⅰ）证明：∵E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF∥CD∥AB，
又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
同理，EG∥平面PAB，
∵EF∩EG=E，
∴∴平面EFG∥平面PAB，
又AP?平面PAB，∴AP∥平面EFG…4分
（Ⅱ）证明：∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
又E、F分别是PC、PD的中点的中点
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面PAD，
又EF?平面EFG，
则平面PAD⊥平面EFG…8分
（3）解：${V_{C-EFG}}={V_{G-CEF}}=\frac{1}{3}{S_{△CEF}}．GC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{48}$…12分．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．