Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，点P在其上一点，双曲线的离心率是2，且∠F₁PF₂=90°，若△F₁PF₂的面积为3，则双曲线的实轴长为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用双曲线的定义、勾股定理、△F₁PF₂的面积为3，可得c²-a²=3，结合双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=2，求出a，即可得到双曲线的实轴长2a．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则|m-n|=2a①
由∠F₁PF₂=90°，可得m²+n²=4c²，②
则①²-②得：-2mn=4a²-4c²，
即有mn=2c²-2a²，
由△F₁PF₂的面积为3，
可得$\frac{1}{2}$mn=c²-a²=3，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=2，
解得c=2，a=1，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线的定义、方程和基本性质．在涉及到与焦点有关的题目时，一般都用定义求解，考查运算能力，属于中档题．