Question

4．重庆八中大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下：

T（分钟）	25	30	35	40
频数（次）	100	150	200	50

以这500次驾车单程所需时间的频率代替某人1次驾车单程所需时间的概率．
（1）求T的分布列与P（T＜E（T））；
（2）某天有3位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记X表示这3位教师中驾车所用时间少于E（T）的人数，求X的分布列与E（X）；
（3）下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率．

Answer 1

分析 （1）以频率估计频率，即可取得T的分布列．求出期望，得到概率即可．
（2）判断分布列是二项分布，然后列出分布列求出期望．
（3）设T₁，T₂分别表示往返所需时间，设事件A表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟”，则P（A）=P（T₁=25）P（T₂≤45）+P（T₁=30）P（T₂≤40）+P（T₁=35）P（T₂≤35）+P（T₁=40）P（T₂≤30）求解即可．

解答 解：（1）以频率估计频率得T的分布列为：

T	25	30	35	40
P	0.2	0.3	0.4	0.1

∴E（T）=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟），
P（T＜E（T））=P（T＜32）=0.2+0.3=0.5．
（2）X～B（3，$\frac{1}{2}$），P（X=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}（1-\frac{1}{2}）^{3-k}$（k=0，1，2，3）．

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（X）=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
（3）设T₁，T₂分别表示往返所需时间，设事件A表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟”，则
P（A）=P（T₁=25）P（T₂≤45）+P（T₁=30）P（T₂≤40）+P（T₁=35）P（T₂≤35）+P（T₁=40）P（T₂≤30）=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91．

点评 本题考查二项分布以及随机变量的分布列，期望的求法，考查转化思想以及计算能力．