题目内容
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{Sn}有唯一的最大项S3，Hn=S1+2S2+3S3+…+nSn，则（ ）| A． | S5•S6＜0 | B． | H5•H6＜0 | ||
| C． | 数列{an}、{Sn}都是单调递减数列 | D． | H6可能是数列{Hn}最大项 |
分析 由等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}有唯一的最大项S3，可得：公差d＜0，a1＞0，a1，a2，a3＞0，a4＜0．
A．由S5=5a3＞0，S6=3（a3+a4）与0的大小关系不确定，即可判断出正误；
B．H5=S1+2S2+3S3+4S4+5S5＞0，H6=S1+2S2+3S3+4S4+5S5+6S6，由A可知：S6=3（a3+a4）与0的大小关系不确定，即可判断出正误．
C．数列{an}是单调递减数列，而数列{Sn}在n≤3时单调递增，n≥4时单调递减．
D．由a3+a4与0的大小关系不确定即可判断出结论．
解答 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}有唯一的最大项S3，
∴公差d＜0，a1＞0，a1，a2，a3＞0，a4＜0．
A．由S5=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=5a3＞0，S6=$\frac{6（{a}_{1}+{a}_{6}）}{2}$=3（a3+a4）与0的大小关系不确定，可知A不正确；
B．H5=S1+2S2+3S3+4S4+5S5＞0，H6=S1+2S2+3S3+4S4+5S5+6S6，
由A可知：S6=3（a3+a4）与0的大小关系不确定，H5•H6与0的大小关系也不确定，因此不正确．
C．数列{an}是单调递减数列，而数列{Sn}在n≤3时单调递增，n≥4时单调递减．
D．若a3+a4＞0，则S6＞0，而S7=$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$=7a4＜0，因此H6有可能是数列{Hn}最大项．
故选：D．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及求和公式性质、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
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