Question

5．已知f（x）=log₃x．
（1）若关于x的方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在区间（0，1）内，求实数a的取值范围；
（2）若f（x²-2ax+3）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）令t=log₃x，若方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在区间（0，1）内，则方程$2{t}^{2}+3{log}_{3}a•t+{{log}_{3}}^{2}a-1=0$有两个负根，进而得到答案；
（2）若f（x²-2ax+3）在[2，+∞）上单调递增，则t=x²-2ax+3在[2，+∞）上单调递增，且函数值恒为正，进而得到答案；

解答 解：（1）f（ax）•f（ax²）=f（3）可化为：（log₃x+log₃a）（2log₃x+log₃a）=1，
令t=log₃x，则（t+log₃a）（2t+log₃a）=1，即$2{t}^{2}+3{log}_{3}a•t+{{log}_{3}}^{2}a-1=0$，
∵△=${{log}_{3}}^{2}a+8＞0$恒成立，故原方程一定有两个相异的根，
若方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在区间（0，1）内，
则方程$2{t}^{2}+3{log}_{3}a•t+{{log}_{3}}^{2}a-1=0$有两个负根，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3{log}_{3}a}{2}＜0\\ \frac{{{log}_{3}}^{2}a-1}{2}＞0\end{array}\right.$，
即：log₃a＞1
解得：a＞3
（2）若f（x²-2ax+3）在[2，+∞）上单调递增，
则t=x²-2ax+3在[2，+∞）上单调递增，且函数值恒为正，
即$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 4-4a+3＞0\end{array}\right.$，
解得：a＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查的知识点是转化思想，复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，难度中档．