Question

14．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，P，Q分别是线段AB与CD的中点．
（Ⅰ）求证：PQ⊥CD；
（Ⅱ）若DC=BC，线段BD上是否存在点E，使得平面PQE与平面ABC所成的为二面角为直二面角？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中点O，连结PO、QO，推导出CD⊥平面POQ，由此能证明PQ⊥CD．
（Ⅱ）以D为原点，以垂直于BD的直线为x轴，DB为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段BD上存在点E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），使得平面PQE与平面ABC所成的为二面角为直二面角．

解答 证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结PO、QO，
∵在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，
BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，
P，Q分别是线段AB与CD的中点．
∴PO⊥CD，OQ⊥CD，
∵PO∩QO=O，∴CD⊥平面POQ，
∵PQ?平面POQ，∴PQ⊥CD．
解：（Ⅱ）以D为原点，以垂直于BD的直线为x轴，DB为y轴，DA为z轴，建立如图所示的坐标系，
P（0，$\sqrt{2}$，1），Q（1，$\sqrt{2}$，0），
A（0，0，2），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
C（2，2$\sqrt{2}$，0），
设线段BD上存在点E（0，t，0），0$≤t≤2\sqrt{2}$，使得平面PQE与平面ABC所成的为二面角为直二面角．
$\overrightarrow{PQ}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PE}$=（0，t-$\sqrt{2}$，-1），$\overrightarrow{AB}$=（0，2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2$\sqrt{2}$，-2），
设平面PQE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=（t-\sqrt{2}）y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{1}{t-\sqrt{2}}$，1），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2\sqrt{2}b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2a+2\sqrt{2}b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
∵平面PQE与平面ABC所成的为二面角为直二面角，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=$\frac{1}{t-\sqrt{2}}+\sqrt{2}$=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴线段BD上存在点E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），使得平面PQE与平面ABC所成的为二面角为直二面角．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．