Question

13．已知正项数列{a_n}满足2a₁+3a₂+a₃=1，则$\frac{1}{{{a_1}+{a_2}}}$与$\frac{1}{{{a_2}+{a_3}}}$的等差中项最小为$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 令a=a₁+a₂，b=a₂+a₃，由2a₁+3a₂+a₃=1知，2a+b=1，且a，b＞0，可得：$\frac{1}{{{a_1}+{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}+{a_3}}}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$，展开利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：令a=a₁+a₂，b=a₂+a₃，由2a₁+3a₂+a₃=1知，2a+b=1，且a，b＞0，
∴$\frac{1}{{{a_1}+{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}+{a_3}}}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=3+$\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$，即a=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，b=$\sqrt{2}$-1时，取“=”号，
∴等差中项最小为$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．