题目内容
4．已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为$\sqrt{2}$，体积为$\frac{4}{3}$，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）| A． | 1：2 | B． | 2：5 | C． | 1：3 | D． | 4：5 |
分析 取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥P-ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比．
解答 
解：取BC中点E，
由题意，正四棱锥P-ABCD的底面边长为$\sqrt{2}$，体积为$\frac{4}{3}$，
∴PE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，HP=2，
从而四棱锥P-ABCD的表面积为S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×4$+$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=8，V=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{4}{3}$，
∴内切球的半径为r=$\frac{1}{2}$．
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，
∴（2-R）2+12=R2，
∴R=$\frac{5}{4}$，
∴棱锥的内切球与外接球的半径之比为2：5．
故选B．
点评 本题考查四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P-ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．
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